從 Chaos Game 與 「幾何變換疊代法」的關聯性，我們瞭解了碎形可以由好幾組幾何變換的疊代過程而產生，這種方式我們稱作 Iterated
Function System（簡寫為 IFS）Method，這最先是由 Hutchinson 與 Dekking 開始的理論研究，再由 Barnsley
進一步推廣與普及化。而 IFS 主要朝兩方面發展，一方面就是我們之前介紹過的「幾何變換疊代法」與以後會介紹的「規範疊代方程式法（Formula
Iteration Method）」，這類的演算法是屬於 Deterministic Algorithm；另一方面，便是我們即將要介紹的「隨機疊代方程式法（Random
IFS Iteration Method）」，這種演算法是屬於 Random Algorithm，而 Chaos Game 是其中最著名的應用例子。
介紹 Chaos Game 時 ，我們提到其步驟可以寫成幾個特定的疊代方程組，而疊代方程組的
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係數各自相對應於幾何變換的參數組合。疊代方程組的格式如左圖所示。為了方便表示，我們分別以符號 a、b、c、d、 e 與 f 取代疊代方程組的係數，同樣如圖所示。
不過，我們需要再加入一個符號 p 來代表疊代過程中選擇該疊代方程組的機率（ Probability ）。若以 Chaos Game
的 Sierpinski Gasket 為例，由於每個疊代方程組被選擇的機會均等，所以 p 都是 1/3。 |
於是，我們可以直接用這七個符號來表示不同的疊代方程組 。 如果以 Sierpinski Gasket 為例 ，「 隨機疊代方程式法 」便以下面的格式表示其規則
，在這裡，我們採取的是 FRACTINT 所建議的格式。在這個格式中，我們在分號之後開始註解，並且在 { 與 } 兩個符號之內，敘述碎形繪製的所有規則。其中，需注意的是，每個疊代方程組的
p 值之和等於 1。
我們再舉 Koch Curve 的例子，你可以利用「 幾何變換疊代法 」中 Koch Curve 的幾何變換參數來計算出，以下每一個疊代方程組的係數值。只要是「幾何變換疊代法」能夠繪製出的碎形，我們都可以把它寫成「隨機疊代方程式法」的格式。
下面 Java Applet 的圖案便是依據上述的規則所繪製的 Koch Curve，是否發現了圖案有四種不同的顏色，而且這些顏色完全沒有相互交錯的情況，你可以在上述規則的註解中看見每個疊代方程組所代表的顏色。這些顏色的分布告訴我們，每一個疊代方程組負責描繪特定而不同的區塊，這與「幾何變換疊代法」中
Koch Curve 的繪製情況是完全一致的。
你可以點按 Java Applet 上端的控制項，以改變疊代的總次數。 |
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