Chaos Game | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
在介紹「 隨機疊代方程式法(Random IFS Iteration Method)」之前,我們必須先介紹著名的 Choas Game
, 這個遊戲代表著碎形研究的另一個重要發展。我們曾經在前幾個單元介紹好幾種繪製 Sierpinski Gasket 的方式,在這裡,我們要用更簡單的方法來繪製
Sierpinski Gasket: ●第零步驟:在平面上繪製三角形的三個頂點 V1( 0, 0 )、V2( 1, 0 ) 與 V3( 0.5, 1 ),在任意處再 繪製另一個點,我們稱作疊代起始點(P0) ●第一步驟:隨機選擇三個頂點的其中一個,取此頂點與疊代起始點的中點,此中點我們稱作 新疊代點(P1) ●第二步驟:隨機選擇三個頂點的其中一個,取此頂點與前次疊代點的中點,以得到新疊代點 ●第三步驟:反覆重複第二步驟無限次,並描繪出新疊代點(前五十次可以不必描繪疊代點) 你可以在筆者所寫的 Java Applet 中,依序看見以上的步驟所描繪出來的圖形。裡面,筆者展示了幾個 Chaos Game 的範例 。在選單選擇範例之後,你可以按下「Step Iterate」鈕以顯示單步的疊代結果,其中你會看見,有兩個箭頭分別指向新疊代點與隨機選擇的頂點。同時,我們定義 r 等於新疊代點到頂點之距離與原疊代點到頂點之距離的比值。
這樣簡單的遊戲--反覆取中點與畫點的過程--如何能夠產生如 Sierpinski Gasket 的碎形圖案呢?我們要一步步地推敲其中的原理。上述步驟的規則可以寫成下面的三個式子: Pn+1=( Pn + V1 ) / 2 ![]() 或 Pn+1=( Pn + V2 ) / 2 ![]() 或 Pn+1=( Pn + V3 ) / 2 ![]() 下一個新疊代點於是隨機地從這三個式子的其中之一產生出來,如果我們將這三個式子寫成特定的格式--疊代方程組,我們會發現疊代方程組中的係數,似乎與之前我們以「幾何變換疊代法」繪製 Sierpinski Gasket 的幾何變換參數有些類似。它們之間的關聯性,如下所示:
從上面的疊代方程組、幾何變換矩陣與表格,我們得知 : 由 Chaos Game 規則所寫成的疊代方程式其實就是幾何變換的演算式。從上面表格,我們可以進一步地求出每一個疊代方程組中相對應的 r、s、θ、ψ、e 與 f 的值 ,如下面的表格所示, 這些值與之前我們以「幾何變換疊代法」繪製 Sierpinski Gasket 的幾何變換參數,是完全一致的。
不過,這中間還有一個問題,那就是我們要如何解釋 Chaos Game 規則中的隨機性,與「 |
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