約七Ｏ年代左右，數學家 Benoit Mandelbrot 在一篇幾乎算是他思想轉捩點的論文「英國的海岸線有多長？」中，發展出了新的維度觀念 ── 幾何學：碎形。

　　三十年間，碎形幾何，與混沌理論，複雜性科學共同匯合，試圖解釋過去科學家們所忽略的非線性現象，與大自然的複雜結構，把觸角伸入，除了物理、化學之外的生理學、經濟學、社會學、氣象學，乃至於天文學所談及的星體分布。

　　搖身一變，碎形幾何已經變成了主要能描述大自然的幾何學了。這些研究開拓了人們對於維度、尺度、結構的新看法，筆者大致歸納如下：

　　　　◆碎形具有分數維度：不同於整數維度的一維線段，二維矩形，碎形所
　　　　　　　具有的維度是分數的，例如無窮擴張三分之四的卡區曲線，其維
　　　　　　　度是 1.2618。

　　　　◆碎形具有尺度無關性：對於「同一個」碎形結構，以不同大小的量尺
　　　　　　　來量度「可觀察的區域」，碎形會具有一致的碎形維度。例如，
　　　　　　　如果我們不同程度地放大或縮小 Mandelbrot Set，我們會發現圖形
　　　　　　　的複雜度，或摺疊程度，或粗糙程度並未因此而改變。

　　　　◆碎形具有自我模仿性：對於「同一個」碎形結構，自我模仿就是尺度
　　　　　　　一層一層縮小的結構重複性，它們不僅在越來越小的尺度裡重複
　　　　　　　細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸，造成某種循環
　　　　　　　重現的複雜現象。　　　　

　　　　◆碎形代表有限區域的無限結構：例如，卡區的雪花曲線，是一條無限
　　　　　　　長，而結構不斷重複的線段，被限制在最初三角形的正圓區域內
　　　　　　　。例如，原本是一固定線段的 Cantor Set，最後變成一系列數量
　　　　　　　無窮，但總長度卻為零的點集合。

　　　　◆碎形隱含一種整體性：我們可以從某一尺度的碎形，來推知另一尺度
　　　　　　　的「同一個」碎形的大致樣子，這意味著一種整體性，小細節的
　　　　　　　傾向可以透露大細節的傾向，大細節的絲毫改變可以令所有小細
　　　　　　　節全面改觀，再造成整個碎形圖形的變化。

　　　　◆碎形是觀察手段的相對結果：回到 Mandelbrot 的那篇論文「英國的海
　　　　　　　岸線有多長？」，作為碎形結構的海岸線本身，在某種意義下是
　　　　　　　無限長，但是對於不同的觀察者而言，海岸線長度卻端視其手中
　　　　　　　的量尺（不同的觀察手段）而定，Mandelbrot 說：「數據結果是
　　　　　　　依觀察者與其對象而改變。」也正是這個觀念，才促使他發展出
　　　　　　　不同於過去科學家的維度量度的新理論。

　　　　◆碎形是非線性動力過程的結果：大自然的外貌、結構是非線性動力過
　　　　　　　程所造成的結果，我們也只能在非線性現象中，才能找到碎形的
　　　　　　　蹤跡，於是碎形幾何與非線性動力學有著密不可分的關係。

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　　├─ 典型的碎形
　　｜　　├─ Pythagorean Trees
　　｜　　├─ Cantor Set
　　｜　　├─ Sierpinski Gasket And Carpet
　　｜　　├─ Koch Curve
　　｜　　├─ Cesaro Curve
　　｜　　├─ Levy Curve
　　｜　　├─ Dragon Curve
　　｜　　├─ Peano Curve
　　｜　　├─ Hilbert Curve
　　｜　　├─ H-Fractal
　　｜　　└─ Tree Fractal
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　　├─ 繪製碎形的方法
　　｜　　├─ 起始元與生成元疊代法（Initiator and Generator Iteration Method）
　　｜　　｜　　├─ 起始元與生成元疊代法
　　｜　　｜　　├─ L-System Method（1）
　　｜　　｜　　├─ L-System Method（2）
　　｜　　｜　　└─ L-Systems Java Applet
　　｜　　├─ 幾何變換疊代函數系統（Deterministic Iterated Function System）
　　｜　　｜　　├─ 平面幾何變換
　　｜　　｜　　├─ 幾何變換疊代函數系統（1）
　　｜　　｜　　├─ 幾何變換疊代函數系統（2）
　　｜　　｜　　└─ MRCM 與 貼片理論（MRCM and Collage Theorem）
　　｜　　├─ 隨機疊代函數系統（Random Iterated Function Systems）
　　｜　　｜　　├─ Chaos Game
　　｜　　｜　　├─ 隨機疊代函數系統（1）
　　｜　　｜　　├─ 隨機疊代函數系統（2）
　　｜　　｜　　└─ Random IFS Java Applet
　　｜　　└─ 規範疊代函數系統（Formula Iterated Function Systems）
　　｜　　　 　　├─ 規範疊代函數系統（1）
　　｜　　　　├─ 規範疊代函數系統（2）
　　｜　　　　├─ 混沌與奇異吸子（1）（Strange Attractors 1）
　　｜　　　　├─ 混沌與奇異吸子（2）（Strange Attractors 2）
　　｜　　　　└─ 混沌與奇異吸子（3）（Strange Attractors 3）
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　　├─ 碎形維度
　　｜　　├─ 英國的海岸線有多長？
　　｜　　├─ 自我相似維度（Self-Similarity Dimension）
　　｜　　├─ 盒子維度（Box-Counting Dimension）
　　｜　　├─ Hausdorff 維度（Hausdorff Dimension）
　　｜　　└─ 碎形維度的進階計算
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　　├─ Mandelbrot Set and Julia Sets
　　｜　　├─ 複數與其疊代
　　｜　　├─ Julia Sets
　　｜　　｜　　├─ 吸引流域（1）（Basin of Attraction_1）
　　｜　　｜　　├─ 吸引流域（2）（Basin of Attraction_2）
　　｜　　｜　　├─ 閥值半徑與束縛圍集（Threshold Radius and Encirclement）
　　｜　　｜　　├─ Julia Sets Family
　　｜　　｜　　├─ Julia Sets 的性質
　　｜　　｜　　└─ Julia Sets 與 Chaos Game
　　｜　　└─ Mandelbrot Set
　　｜　　　 　　├─ Mandelbrot Set 的定義
　　｜　　　 　　├─ Mandelbrot Set 的性質
　　｜　　　 　　├─ Mandelbrot Set 與 Julia Sets 的關係（1）
　　｜　　　 　　├─ Mandelbrot Set 與 Julia Sets 的關係（2）
　　｜　　　 　　├─ Mandelbrot Set 與 PI
　　｜　　　 　　└─ 其他形式的 Mandelbrot Set
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　　├─ 隨機的碎形結構（Random Fractals）
　　｜　　├─ 從自然界的碎形結構談起
　　｜　　├─ 自我相似的隨機性分布（Self-Similar Distributions）
　　｜　　├─ L-System 的隨機型模擬
　　｜　　├─ 布朗運動（Brownian Motion）
　　｜　　└─ Diffusion-Limited Aggregation
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　　├─ 碎形幾何的深入探討
　　｜　　├─ 碎形幾何的哲學意義
　　｜　　├─ 碎形、混沌與動力學（1）
　　｜　　├─ 碎形、混沌與動力學（2）
　　｜　　└─ 碎形與藝術的相遇
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　　├─ 系列主題
　　｜　　├─ 談碎形與藝術：自我相似之結構套嵌 NEW
　　｜　　├─ 談碎形與藝術：絕美 Mandelbrot Set NEW
　　｜　　├─ 談碎形與藝術：她的終點是秩序美？ NEW
　　｜　　├─ 碎形幾何內涵與 Logo 程式繪圖 NEW
　　｜　　└─ Logo 小海龜實現碎形繪圖程序
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　　├─ 相關論文
　　｜　　├─ Logo 小海龜實現碎形繪圖程序 NEW
　　｜　　└─ 回應〈殘形宇宙學足以推翻大霹靂學說！？〉一文
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　　└─ 相關連結與資源