如學術界所公認的，悖論問題是數學基礎中最困難而又極為重要的問題，二十世紀初的數學家在解決悖論的過程中，也導致了嶄新的數學基礎理論的產生與發展（這個議題我以後會再談到）。可是直至今日，不同類型的悖論問題本身仍然沒有公認的圓滿解答。
一九Ｏ一年於集合論中發現的羅素悖論，真正引爆了這場數學基礎的危機。可是早在羅素悖論之前，康托就於一八九九年在他的超限集合論中發現了所謂的康托悖論。根據概括原則可以構成由所有集合所組成的集合Ｓ，即所謂的「大全集」。康托定理告訴我們，任一集合的羃集（Power Set，即由該集合的所有子集合所組成的集合）的基數（Cardinal Number，即集合中的元素個數）大於原集合的基數。由此可知Ｓ的羃集ＰＳ的基數ＰＳ，大於Ｓ自身的基數Ｓ。但是既然Ｓ是大全集，則ＰＳ也是Ｓ的子集，而子集的元素個數不可能超過其母集，故有ＰＳ小於或等於Ｓ。綜合前述的兩個關係式，由此出現了不該出現的矛盾：ＰＳ＞Ｓ並且ＰＳ≦Ｓ。
當時康托意識到如果上述的推導找不出問題，又想要消解這個悖論的話，則解決的關鍵可能在於：不存在大全集，或者是，沒有最大的超限基數，又或者是，並非任何的集合都有羃集。但是這些結論如果成立，又會造成超限集合論的大翻修。然而，這個悖論還沒有影響到當時數學界的和諧氣氛，也沒有影響集合論在許多領域的自由應用，所以它一直被忽略。直到形式簡潔而明確的羅素悖論被提出，沒有任何可辯駁的餘地，數學界才突然落入晴天霹靂的窘境。羅素說：這揭示我們關於真理、概念、存在與類等觀念的邏輯直覺是自相矛盾的。
根據羅素本人的介紹，他當時的思路是這樣：我們可以把所有集合分成兩類，一類是不屬於自己的，不能做為自己元素的集合（例如湯匙的集合，本身不是一把湯匙）；再一類就是屬於自己的，即本身是自己的元素的集合（例如所有不是湯匙的東西的集合，本身也不是一把湯匙）。這種分類看起來是充分適當而無可懷疑的。現在我們考慮「不屬於自身的集合」這一性質，根據概括原則，它可以定義集合Ｓ＝｛ｘ｜ｘ不屬於ｘ｝，即（ｘ）（ｘ屬於Ｓ←→ｘ不屬於ｘ）（對任一集合ｘ，如果ｘ屬於Ｓ，若且唯若，ｘ不屬於自己）。由此進行簡單的全稱限定即可推得：Ｓ屬於Ｓ←→Ｓ不屬於Ｓ，從而構成一矛盾命題的等價式，即Ｐ←→非Ｐ。這個嚴格的悖論只涉及到集合論的基本概念，如「集合」、「元素」、「集合的集合（以集合為元素的集合）」與「屬於」；涉及到的基本原則只有一條「概括原則」，這是統攝任一集合的一條普遍原則，可運用於構造無限集合，甚至是不可數的無限集合，這條原則使得（超限）集合論作為整個數學的基礎理論，成為可能。
羅素悖論是屬於集合論悖論，它的提出也讓數學家重新檢視了幾個語義悖論，例如以前被視為文字遊戲的說謊者悖論。學者們開始對已知的悖論做分類的工作，我們大概分成五種：哲學悖論、集合論悖論、邏輯悖論（或稱為語形悖論）、語義悖論與具體理論悖論。哲學悖論以芝諾悖論與康德的二律背反為代表，具體理論悖論則例如我之前在〈悖論與科學革命〉文中所提到物理學的悖論。而本文的重點，在於從羅素悖論看集合論悖論、邏輯悖論與語義悖論，後面我將介紹羅素悖論的邏輯悖論版本與語義悖論版本。以這些例子，我們可以看到不同類型的悖論的內在聯繫。
羅素悖論即使不用任何集合論的術語，而僅用純粹的邏輯語言，也可以把這個悖論表述出來。我們說一特徵性質定義一集合，而性質這個概念是可以純邏輯地表達的。例如個體張三（ａ）具有性質誠實（Ｆ），可表示為Ｆａ。性質本身有可以具有某種性質（即二階謂詞邏輯，乃至於多階謂詞邏輯），如誠實具有可貴（Ｇ）的性質，可表示為ＧＦ。所有性質可分為兩類：一類即非本身具有的性質，此類性質較多，如誠實本身無所謂誠實不誠實，可貴的這個性質本身也並不可貴，該類性質稱為平常性質（Ｐ）；另一類性質則同時也是自己的性質，例如可理解這個性質本身也是可理解的，非人這個性質本身也屬非人，這類性質稱為非常性質。
顯然，平常性質與非常性質本身也都是性質。現在的問題是：平常性質本身是不是平常性質？結果便是：它是平常性質，若且唯若，它不是平常性質。這個悖論也不需要用到任何語義概念，純形式的邏輯構造如下：由平常性質Ｐ的定義可得，對於所有性質Ｘ而言，Ｘ具有性質Ｐ，若且唯若，Ｘ不具有Ｘ本身。即（Ｘ）（ＰＸ←→非ＸＸ）。經過全稱限定規則，即既然上式對於所有性質都成立，對於性質Ｐ自然也成立。便可以得到ＰＰ←→非ＰＰ。這是一個嚴格的邏輯悖論（語形悖論），也是羅素悖論的純邏輯構造。
一九一八年，羅素提出了羅素悖論的語義版本，即有名的「理髮師悖論」：在薩維爾村有一個理髮師，他本人有刮鬍子的習慣。他掛出了一塊招牌規定著：「我給而且只給村民中不給自己刮鬍子的人刮鬍子。」村子裡所有有刮鬍子習慣的村民可以分為兩類：一類是自己給自己刮鬍子的，記為Ｓ，一類是自己不給自己刮鬍子的，記為非Ｓ。試問：該理髮師屬於哪一類？如果屬於Ｓ，則按照他自己的規定，他不該給自己刮鬍子，因之又屬於非Ｓ；如果屬於非Ｓ，則同樣按照他自己的規定，他又該給自己刮鬍子，因又屬於Ｓ。從而得出，該理髮師屬於Ｓ，若且唯若，他屬於非Ｓ。這是一個嚴格的語義悖論，也使得羅素悖論更易為人所理解。
請參看我的另一篇文章〈對於集合論悖論的不同解決方案〉
|
寫信