2003-04-12
從羅素悖論看集合論悖論、邏輯悖論與語義悖論
文章論述/科學哲學
  如學術界所公認的,悖論問題是數學基礎中最困難而又極為重要的問題,二十世紀初的數學家在解決悖論的過程中,也導致了嶄新的數學基礎理論的產生與發展(這個議題我以後會再談到)。可是直至今日,不同類型的悖論問題本身仍然沒有公認的圓滿解答

  一九O一年於集合論中發現的羅素悖論,真正引爆了這場數學基礎的危機。可是早在羅素悖論之前,康托就於一八九九年在他的超限集合論中發現了所謂的康托悖論。根據概括原則可以構成由所有集合所組成的集合S,即所謂的「大全集」。康托定理告訴我們,任一集合的羃集(Power Set,即由該集合的所有子集合所組成的集合)的基數(Cardinal Number,即集合中的元素個數)大於原集合的基數。由此可知S的羃集PS的基數PS,大於S自身的基數。但是既然S是大全集,則PS也是S的子集,而子集的元素個數不可能超過其母集,故有PS小於或等於。綜合前述的兩個關係式,由此出現了不該出現的矛盾:PS並且PS

  當時康托意識到如果上述的推導找不出問題,又想要消解這個悖論的話,則解決的關鍵可能在於:不存在大全集,或者是,沒有最大的超限基數,又或者是,並非任何的集合都有羃集。但是這些結論如果成立,又會造成超限集合論的大翻修。然而,這個悖論還沒有影響到當時數學界的和諧氣氛,也沒有影響集合論在許多領域的自由應用,所以它一直被忽略。直到形式簡潔而明確的羅素悖論被提出,沒有任何可辯駁的餘地,數學界才突然落入晴天霹靂的窘境。羅素說:這揭示我們關於真理、概念、存在與類等觀念的邏輯直覺是自相矛盾的

  根據羅素本人的介紹,他當時的思路是這樣:我們可以把所有集合分成兩類,一類是不屬於自己的,不能做為自己元素的集合(例如湯匙的集合,本身不是一把湯匙);再一類就是屬於自己的,即本身是自己的元素的集合(例如所有不是湯匙的東西的集合,本身也不是一把湯匙)。這種分類看起來是充分適當而無可懷疑的。現在我們考慮「不屬於自身的集合」這一性質,根據概括原則,它可以定義集合S={x|x不屬於x},即(x)(x屬於S←→x不屬於x)(對任一集合x,如果x屬於S,若且唯若,x不屬於自己)。由此進行簡單的全稱限定即可推得:S屬於S←→S不屬於S,從而構成一矛盾命題的等價式,即P←→非P。這個嚴格的悖論只涉及到集合論的基本概念,如「集合」、「元素」、「集合的集合(以集合為元素的集合)」與「屬於」;涉及到的基本原則只有一條「概括原則」,這是統攝任一集合的一條普遍原則,可運用於構造無限集合,甚至是不可數的無限集合,這條原則使得(超限)集合論作為整個數學的基礎理論,成為可能。

  羅素悖論是屬於集合論悖論,它的提出也讓數學家重新檢視了幾個語義悖論,例如以前被視為文字遊戲的說謊者悖論。學者們開始對已知的悖論做分類的工作,我們大概分成五種:哲學悖論、集合論悖論、邏輯悖論(或稱為語形悖論)、語義悖論與具體理論悖論。哲學悖論以芝諾悖論與康德的二律背反為代表,具體理論悖論則例如我之前在〈悖論與科學革命〉文中所提到物理學的悖論。而本文的重點,在於從羅素悖論看集合論悖論、邏輯悖論與語義悖論,後面我將介紹羅素悖論的邏輯悖論版本與語義悖論版本。以這些例子,我們可以看到不同類型的悖論的內在聯繫

  羅素悖論即使不用任何集合論的術語,而僅用純粹的邏輯語言,也可以把這個悖論表述出來。我們說一特徵性質定義一集合,而性質這個概念是可以純邏輯地表達的。例如個體張三(a)具有性質誠實(F),可表示為Fa。性質本身有可以具有某種性質(即二階謂詞邏輯,乃至於多階謂詞邏輯),如誠實具有可貴(G)的性質,可表示為GF。所有性質可分為兩類:一類即非本身具有的性質,此類性質較多,如誠實本身無所謂誠實不誠實,可貴的這個性質本身也並不可貴,該類性質稱為平常性質(P);另一類性質則同時也是自己的性質,例如可理解這個性質本身也是可理解的,非人這個性質本身也屬非人,這類性質稱為非常性質。

  顯然,平常性質與非常性質本身也都是性質。現在的問題是:平常性質本身是不是平常性質?結果便是:它是平常性質,若且唯若,它不是平常性質。這個悖論也不需要用到任何語義概念,純形式的邏輯構造如下:由平常性質P的定義可得,對於所有性質X而言,X具有性質P,若且唯若,X不具有X本身。即(X)(PX←→非XX)。經過全稱限定規則,即既然上式對於所有性質都成立,對於性質P自然也成立。便可以得到PP←→非PP。這是一個嚴格的邏輯悖論(語形悖論),也是羅素悖論的純邏輯構造。

  一九一八年,羅素提出了羅素悖論的語義版本,即有名的「理髮師悖論」:在薩維爾村有一個理髮師,他本人有刮鬍子的習慣。他掛出了一塊招牌規定著:「我給而且只給村民中不給自己刮鬍子的人刮鬍子。」村子裡所有有刮鬍子習慣的村民可以分為兩類:一類是自己給自己刮鬍子的,記為S,一類是自己不給自己刮鬍子的,記為非S。試問:該理髮師屬於哪一類?如果屬於S,則按照他自己的規定,他不該給自己刮鬍子,因之又屬於非S;如果屬於非S,則同樣按照他自己的規定,他又該給自己刮鬍子,因又屬於S。從而得出,該理髮師屬於S,若且唯若,他屬於非S。這是一個嚴格的語義悖論,也使得羅素悖論更易為人所理解。

請參看我的另一篇文章〈對於集合論悖論的不同解決方案〉